Question

（2013•内江二模）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率e=

2 3

3

，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为

3

2

．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率e=

2 3

3

，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为

3

2

，建立方程，求得几何量，即可求得双曲线方程；
（2）直线方程与双曲线方程联立，利用C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，可得|CA|=|DA|，结合韦达定理，即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）由题意可得：e=

c

a

=

2 3

3

，则

a2+b2

a2

=

4

3

①
设直线方程为

x

a

-

y

b

=1，原点到直线距离为

3

2

，则

ab

a2+b2

=

3

2

，即

a2b2

a2+b2

=

3

4

②，
由①②可得a=

3

，b=1，∴双曲线方程为

x2

3

-y2=1；
（2）设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 3 -y2=1

消去y整理可得（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0
∵直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线交于不同的两点C、D，
∴△=（-6km）²-4（1-3k²）（-3m²-3）＞0，即m²+1＞3k²，③
∵C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，
∴|CA|=|DA|
∴

x12+(y1+1)2

=

x22+(y2+1)2

∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m
∴（1+k²）（x₁+x₂）+2k（m+1）=0
∵x₁+x₂=

6km

1-3k2

∴（1+k²）×

6km

1-3k2

+2k（m+1）=0
∴4m+1-3k²=0
∵m²+1＞3k²＞0
∴m²+1＞4m+1＞0
∴-

1

4

＜m＜0或m＞4

点评：本题考查了利用双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．