Question

设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（x）=f（4-x），f（7-x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，则函数f（x）的最小正周期为

10

，方程f（x）=0在闭区间[-2005，2005]上有

802

个根．

Answer 1

分析：根据满足f（x）=f（4-x），f（7-x）=f（7+x），可得f（x）=f（x+10），从而得出函数f（x）的最小正周期；由周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，从而可知函数y=f（x）在[0，2005]上有402个解，在[-2005，0]上有400个解，综合可得答案．

解答：解：由  f（x）在R上满足f（x）=f（4-x），f（7-x）=f（7+x），
⇒f（x）=f（4-x），f（x）=f（14-x）
⇒f（4-x）=f（14-x）⇒f（x）=f（x+10）
故函数f（x）的最小正周期为 10．
又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0
故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，
从而可知函数y=f（x）在[0，2005]上有402个解，在[-2005，0]上有400个解，
所以函数y=f（x）在[-2005，2005]上有802个解．
故答案为：10，802．

点评：本题主要考查了函数的周期性和根的存在性及根的个数判断，属于基础题．