Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（5-a）x-3a}&{x＜1}\\{lo{g}_{a}x}&{x≥1}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{5}{4}$，5）
• B． （$\frac{5}{4}$，5]
• C． （1，5）
• D． （5，+∞）

Answer 1

分析 根据复合函数单调性之间的关系，结合对数函数和一次函数的单调性建立不等式关系即可．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（5-a）x-3a}&{x＜1}\\{lo{g}_{a}x}&{x≥1}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）上是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{5-a＞0}\\{5-a-3a≤lo{g}_{a}1=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜5}\\{a≥\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，即$\frac{5}{4}$≤a＜5，
故选：A

点评 本题主要考查复合函数单调性的应用，结合对数函数和一次函数的单调性是解决本题的关键．