【题目】【2017届湖北省武汉市武昌区高三1月调研考试文数】已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)设,若对,,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ,在上单调递增, ,在上单调递减,在上单调递增;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求函数的导数,并化简为 , 不在定义域内,所以分 和 两种情况讨论函数的单调性;(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结果,设 并且去掉绝对值,变形为 ,令 ,根据函数的单调性,参变分离后, 转化为求函数最值.
试题解析:(Ⅰ)的定义域为 ,
求导数,得 ,
若 ,则,此时在上单调递增,
若 ,则由得,当时, ,当时, ,
此时在上单调递减,在上单调递增.
(Ⅱ)不妨设,而,由(Ⅰ)知,在上单调递增,
从而 等价于
①
令,则,
因此,①等价于在上单调递减,
对恒成立,
对恒成立, ,
又,当且仅当,即时,等号成立.
,故的取值范围为.
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【题目】选修:坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l过点M(1,0),倾斜角为 .
(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程;
(Ⅱ)若曲线C经过伸缩变换 后得到曲线C′,且直线l与曲线C′交于A,B两点,求|MA|+|MB|.
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【题目】从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
(ⅰ)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);
(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(ⅰ)的结果,求E(X).
附: ≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4.
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【题目】【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考数学(文)】已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的极值点的个数;
(Ⅱ)若有两个极值点,证明:.
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【题目】(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
有时可用函数
描述学习某学科知识的掌握程度,其中x表示某学科知识的学习次数(),表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.
(1) 证明:当时,掌握程度的增加量总是下降;
(2) 根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,,
.当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.
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