Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$．
（1）求函数f（x）的振幅、最小正周期及单调递增区间；
（2）求函数f（x）的对称轴方程及对称中心；
（3）求函数f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的周期性和单调性，求得函数f（x）的振幅、最小正周期及单调递增区间．
（2）由条阿金利用正弦函数的图象的对称性，求得函数f（x）的对称轴方程及对称中心．
（3）由条件利用正弦函数的最小值，求得函数f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合．

解答 解：（1）对于函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，它的振幅为$\frac{1}{2}$，周期为 $\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得 kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）对于函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，
可得函数的图象的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，
可得函数的图象的对称轴中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．
（3）对于函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z时，函数f（x）取得最小值为-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最小值，属于基础题．