Question

已知

m

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)，

n

=(cosωx-sinωx，2sinωx)，其中ω＞0，若函数f(x)=

m

•

n

，且函数f（x）的图象与直线y=2相邻两公共点间的距离为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C、的对边，且a=

3

，b+c=3，f（A）=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）先根据向量的数量积运算将函数f（x）化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由函数f（x）的图象与直线y=2相邻两公共点间的距离为π求出最小正周期，最后根据T=

2π

w

求出w的值．
（2）将w的值代入确定函数f（x）的解析式，根据f（A）=1和正弦函数的性质和求出A的值，再由余弦定理b，c的值，进而得到面积．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)（cosωx-sinωx，2sinωx）
=cos2ωx-sin2ωx+2

3

sinωxcosωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)
∵ω＞0
∴函数f（x）的周期T=

2π

2ω

=

π

ω

∵函数f（x）的图象与直线y=2相邻两公共点间的距离为π．
∴

π

ω

=π∴ω=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω=1，f(x)=2sin(2x+

π

6

)
∵f（A）=1
∴2sin(2A+

π

6

)=1
∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

∵0＜A＜π∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

∴2A+

π

6

=

5π

6

?A=

π

3

由余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

∴b²+c²-bc=3又b+c=3联立解得

b=2 c=1

或

b=1 c=2

∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

点评：本题主要考查向量的数量积运算、正弦函数的性质．考查学生的综合运用和计算能力．向量和三角函数的综合题是高考的热点，每年必考，要重视．