Question

11．设命题p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足 2＜x≤3．
（1）若a=1，有p且q为真，求实数x的取值范围．
（2）若?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）命题p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．若a=1，则p中：1＜x＜3，由p且q为真，可得p与q都为真，即可得出．
（2）若?p是?q的充分不必要条件，可得q是p 的充分不必要条件，即可得出．

解答 解：（1）命题p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．
命题q中：实数x满足 2＜x≤3．
若a=1，则p中：1＜x＜3，
∵p且q为真，∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x≤3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，
故所求x∈（2，3）．
（2）若?p是?q的充分不必要条件，
则q是p 的充分不必要条件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a＞3}\end{array}\right.$，解得1＜a≤2，
∴a的取值范围是（1，2]．

点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．