Question

15．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…$\frac{1}{n-1}$a_n-1（n≥2）．
求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…$\frac{1}{n-1}$a_n-1与a_n+1=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…$\frac{1}{n-1}$a_n-1+$\frac{1}{n}$a_n作差、整理可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，从而$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$、$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-1}{n-2}$、…、$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$，利用累乘法计算即得结论．

解答 解：∵a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…$\frac{1}{n-1}$a_n-1，
∴a_n+1=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…$\frac{1}{n-1}$a_n-1+$\frac{1}{n}$a_n，
两式相减得：a_n+1-a_n=$\frac{1}{n}$a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=n，
∴a_n=na₁=n．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．