某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点
的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为
,圆心角为
(弧度).
(1)求关于
的函数关系式;
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为,求
关于
的函数关系式,并求出
为何值时,
取得最大值?
(1);(2)
,当
时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.
解析试题分析:(1)根据已知条件,将周长米为等量关系可以建立
满足的关系式,再由此关系式进一步得到函数解析式:
,即可解得
;(2)根据题意及(1)可得花坛的面积为
,装饰总费用为
,因此可得函数解析式
,而要求
的最大值,即求函数
的最大值,可以考虑采用换元法令
,从而
,再利用基本不等式,即可求得
的最大值:
,当且仅当
,
时取等号,此时
,
,因此当
时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.
试题解析:(1)扇环的圆心角为,则
,∴
, 3分
(2)由(1)可得花坛的面积为, 6分
装饰总费用为, 8分
∴花坛的面积与装饰总费用的, 10分
令,则
,当且仅当
,
时取等号,此时
,
, 12分
答:当时,花坛的面积与装饰总费用的比最大. 13分
考点:1.扇形公式的运用;2.利用基本不等式函数求极值.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元~0.75元之间,经测算,若电价调至元,则本年度新增用电量
(亿千瓦时)与
元成反比例.又当
时,
.
(1)求与
之间的函数关系式;
(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年增加20%?[收益用电量
(实际电价-成本价)]
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究,发现一天中环境污染指数与时刻
(时)的关系为
,
,其中
是与气象有关的参数,且
,用每天
的最大值作为当天的污染指数,记作
.
(1)令,
,求
的取值范围;
(2)按规定,每天的污染指数不得超过2,问目前市中心的污染指数是否超标?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用一个单位的水可洗掉蔬菜上残留农药的,用水越多洗掉的农药量也越多,但总还有农药残留在蔬菜上.设用
单位量的水清洗一次以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数
.
⑴试规定的值,并解释其实际意义;
⑵试根据假定写出函数应满足的条件和具有的性质;
⑶设,现有
单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成两份后清洗两次.试问用那种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.
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