Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n+1=a_n-

1

2n+1

（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知递推式，利用累加求和及等比数列的前n项和公式即可求出；
（2）运用错位相减法，得到T_n=1•

1

2

+2•

1

4

+3•

1

8

+…+（n-1）•

1

2n-1

+n•

1

2n

，①，

1

2

T_n=1•

1

4

+2•

1

8

+3•

1

16

+…+（n-1）•

1

2n

+n•

1

2n+1

，②，①-②，运用等比数列的求和公式，化简即可得到．

解答： 解：（1）由a₁=

1

2

，a_n+1=a_n-

1

2n+1

，即有a_n-a_n-1=-

1

2n

，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=

1

2

+（-

1

4

）+（-

1

8

）+…+（-

1

2n

）
=1-

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1

2n

；
（2）b_n=na_n=n•

1

2n

，
T_n=1•

1

2

+2•

1

4

+3•

1

8

+…+（n-1）•

1

2n-1

+n•

1

2n

，①

1

2

T_n=1•

1

4

+2•

1

8

+3•

1

16

+…+（n-1）•

1

2n

+n•

1

2n+1

，②
①-②得，

1

2

T_n=

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n-1

+

1

2n

-n•

1

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n•

1

2n+1

则T_n=2-

n+2

2n

．

点评：本题考查数列的通项和求和的求法，考查累加法求数列的通项和错位相减法求数列的和，考查等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题和易错题．