【题目】(1)在圆内直径所对的圆周角是直角.此定理在椭圆内(以焦点在轴上的标准形式为例)可表述为“过椭圆的中心的直线交椭圆于两点,点是椭圆上异于的任意一点,当直线,斜率存在时,它们之积为定值.”试求此定值;
(2)在圆内垂直于弦的直径平分弦.类比(1)将此定理推广至椭圆,不要求证明.
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【题目】已知点, 为椭圆:上异于点A,B的任意一点.
(Ⅰ)求证:直线、的斜率之积为-;
(Ⅱ)是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点、,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,正方体的棱长为4,M为底面ABCD两条对角线的交点,P为平面内的动点,设直线PM与平面所成的角为,直线PD与平面所成的角为若,则动点P的轨迹长度为______.
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【题目】为了测量某塔的高度,某人在一条水平公路两点进行测量.在点测得塔底在南偏西,塔顶仰角为,此人沿着南偏东方向前进10米到点,测得塔顶的仰角为,则塔的高度为( )
A. 5米B. 10米C. 15米D. 20米
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【题目】某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒到19秒之间,下图是这次测试成绩的频率分布直方图.设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y,则x和y分别为( )
A. 10%,45B. 90%,45C. 10%,35D. 90%,35
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【题目】已知平面向量,满足:||=2,||=1.
(1)若(2)()=1,求的值;
(2)设向量,的夹角为θ.若存在t∈R,使得,求cosθ的取值范围.
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【题目】某校为了解甲、乙两班学生的学业水平,从两班中各随机抽取人参加学业水平等级考试,得到学生的学业成绩茎叶图如图:
(Ⅰ)通过茎叶图比较甲、乙两班学生的学业成绩平均值与及方差与的大小;(只需写出结论)
(Ⅱ)根据学生的学业成绩,将学业水平分为三个等级:
根据所给数据,频率可以视为相应的概率.
(i)从甲、乙两班中各随机抽取人,记事件:“抽到的甲班学生的学业水平高于乙班学生的学业水平等级”,求发生的概率;
(ii)从甲班中随机抽取人,记为学业水平优秀的人数,求的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).
(1)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2;
(2)若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.
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