Question

已知函数y=f（x），x∈R满足f（x）=af（x-1），a是不为0的实常数．
（1）若当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），求函数y=f（x），x∈[0，1]的值域；
（2）若当0≤x＜1时，f（x）=x（1-x），求函数y=f（x），x∈[n，n+1），n∈N的解析式；
（3）若当0＜x≤1时，f（x）=3^x，试研究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）、配成完全平方利用配方法求值域；
（2）、根据f（x）=af（x-1）逐步利用当0≤x＜1时，f（x）=x（1-x），
表示出1≤x＜2，2≤x＜3，3≤x＜4，，…n≤x＜n+1上的解析式；
（3）、由第二问得到f_n（x）=aⁿ•3^x-n，根据a的正负分类分别研究单调性，我们知道每一段上为单调函数，
但整个定义域上不一定单调，若单调增（减），只需每一段的最大（小）值小（大）于等于下一段的最小（大）值即可．

解答：解：（1）∵f(x)=-(x-

1

2

)2+

1

4

，x∈[0，1]，∴f(x)∈[0，

1

4

]．
（2）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时．，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n），
∴f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x）．
（3）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n）
∴f_n（x）=aⁿ•3^x-n
显然f_n（x）=aⁿ•3^x-n，x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z，
当a＞0 时是增函数，此时∴f_n（x）∈[aⁿ，3aⁿ]
若函数y=f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，则必有aⁿ⁺¹≥3aⁿ，解得a≥3；
当a＜0时，函数y=f（x）在区间[0，∞）上不是单调函数；
所以a≥3．

点评：本题考查了求函数值域，函数解析式，函数的单调性，用到了配方法求函数值域，
利用f（x）=af（x-1）恒等式逐步求每段上的解析式，
特别注意分段函数，当每一段上单调，整个定义域上不一定单调，要单调，要比较相邻段上的最值大小．