Question

已知函数f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）+2cos²ωx，x∈R（ω＞0），在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

．
（1）求f（x）的对称轴方程；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）用二倍角公式可将函数化简为f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

，再由在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

可解得ω=1，由此得
f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，由其性质可令2x+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）从中解出对称轴方程．
（2）由正弦函数的性质，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），即可解出其单调增区间．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

3

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

．
令2ωx+

π

6

=

π

2

，将x=

π

6

代入可得：ω=1，
f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
对称轴方程为2x+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），
即x=

1

2

kπ+

π

6

（k∈Z）．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）可得
单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．

点评：本题的考点是正弦函数的对称性，考查利用两角和与差的公式化简解析式，以及根据三角函数的性质求对轴方程与求函数的单调区间．