Question

函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数．则

1. A.
   f （x）是偶函数
2. B.
   f （x）是奇函数
3. C.
   f （x+2）=f （x）
4. D.
   f （x+3）是奇函数

Answer 1

D
分析：首先由奇函数性质求f（x）的周期以及对称中心，然后利用所求结论来分别判断四个选项即可
解答：∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，
∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），
∴函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称，所以f（x）不是奇函数也不是偶函数，故选项A、B错；
又因为函数f（x）是周期T=2[1-（-1）]=4的周期函数，故选项C错；
∵f（-x-1）=-f（x-1），
∴f（-x-1+4）=-f（x-1+4），即f（-x+3）=-f（x+3），
∴f（x+3）是奇函数，故选项D正确．
故选D．
点评：本题主要考查抽象函数中一些主条件的变形，来考查函数有关性质，方法往往是紧扣性质的定义．