Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1和函数g(x)=

bx-1

a2x+2b

，方程g（x）=x有两个不等非零实根x₁、x₂（x₁＜x₂）．
（1）证明函数f（x）在（-1，1）上是单调函数；
（2）若方程f（x）=0的两实根为x₃，x₄（x₃＜x₄），求使x₃＜x₁＜x₂＜x₄成立的a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）方程g（x）=x有两个不等非零实根，说明方程a²x²+bx+1=0（*）有不等实根，由△=b²-4a²＞0，可得函数f（x）的对称轴的范围，进而根据二次函数的图象证明函数f（x）在（-1，1）上是单调函数
（2）先计算f（x₁）、f（x₂），再利用二次函数的图象，要使x₃＜x₁＜x₂＜x₄，只需

a＞0 f(x1)＜0 f(x2)＜0

或

a＜0 f(x1)＞0 f(x2)＞0

，解不等式即可

解答：解：（1）由g(x)=

bx-1

a2x+2b

=x⇒方程a²x²+bx+1=0（*）有不等实根∴△=b²-4a²＞0及a≠0，⇒|

b

2a

|＞1，即-

b

2a

＜-1，或-

b

2a

＞1
又f（x）的对称轴x=-

b

2a

∉(-1，1)
故f（x）在（-1，1）上是单调函数                               
（2）因x₁、x₂是方程（*）的根，∴a²x₁²+bx₁+1=0∴bx₁=-a²x₁²-1
同理bx₂=-a²x₂²-1∴f（x₁）=ax₁²+b₁x₁+1=ax₁²-a²x₁²+1=（a-a²）x₁²，同理f（x₂）=（a-a²）x₂²
要使x₃＜x₁＜x₂＜x₄，只需

a＞0 f(x1)＜0 f(x2)＜0

⇒

a＞0 a-a2＜0

⇒a＞1
或

a＜0 f(x1)＞0 f(x2)＞0

⇒

a＜0 a-a2＞0

⇒?
故a的取值范围a＞1

点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题时要熟记二次函数图象，能运用分类讨论的思想，数形结合解决问题