Question

已知平面直角坐标系下的一列点P_n（a_n，b_n）满足an+1=anbn+1，bn+1=

bn

1- a 2 n

，且P1(

1

4

，

3

4

)(n∈N*)．
（Ⅰ） 求点P₂坐标，并写出过点P₁，P₂的直线L的方程；
（Ⅱ） 猜想点P_n（n≥2）与直线L的位置关系，并加以证明；
（Ⅲ） 若c₁=1，c_n+1=b_nc_n，S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1，求

lim

n→∞

Sn的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由P1(

1

4

，

3

4

)，知a1=

1

4

，b1=

3

4

，b2=

3 4

1-( 1 4 )2

=

4

5

，a2=a1b2=

1

4

×

4

5

=

1

5

，由此能求出过点P₁，P₂直线L的方程．
（Ⅱ）由P₂坐标为（

1

5

，

4

5

）得a3=

1

6

，b3=

5

6

，所以点P₃∈L，猜想点P_n（n≥3，n∈N）在直线L上，再用数学归纳法证明．
（Ⅲ）由an+1=anbn+1，bn+1=

bn

1- a 2 n

，a_k+b_k=1，知a_n≠0，a_n≠±1，所以

1

an+1

=

1

an

+1，{

1

an

}是等差数列，由此入手能够导出

lim

n→∞

Sn的值．

解答：解：（Ⅰ）∵P1(

1

4

，

3

4

)，
∴a1=

1

4

，b1=

3

4

，
∴b2=

3 4

1-( 1 4 )2

=

4

5

，a2=a1b2=

1

4

×

4

5

=

1

5

，
∴P₂坐标为（

1

5

，

4

5

），（2分）
∴过点P₁，P₂直线L的方程为x+y=1，（4分）
（Ⅱ）由P₂坐标为（

1

5

，

4

5

）得a3=

1

6

，b3=

5

6

，
∴点P₃∈L，
猜想点P_n（n≥3，n∈N）在直线L上，以下用数学归纳法证明：
当n=3时，点P₃∈L，（5分）
假设当n=k（k≥2）时，命题成立，即点P_k∈L，
∴a_k+b_k=1，（6分）
则当n=k+1时，a_k+1+b_k+1=a_kb_k+1+b_k+1
=(1+ak)•

bk

1- a 2 k

=

bk

1-ak

=1，（7分）
∴点P_n∈L（n≥3），（8分）
（Ⅲ）由an+1=anbn+1，bn+1=

bn

1- a 2 n

，a_k+b_k=1，
∴a_n≠0，a_n≠±1，
∴an+1=an

bn

1- a 2 n

=an

1-an

1- a 2 n

=

an

1+an

，
∴

1

an+1

=

1

an

+1，
∴{

1

an

}是等差数列，
∴

1

an

=

1

a1

+n-1=n+3，（9分）
∴an=

1

n+3

，bn=

n+2

n+3

，
∵c_n+1=b_nc_n，
∴cn=

c2

c1

×

c3

c2

×…×

cn

cn-1

×c1，
=

3

4

×

4

5

×

5

6

×

n+1

n+2

×1=

3

n+2

，（10分）
∴cnan+1=

3

(n+2)(n+4)

=

3

2

(

1

n+2

-

1

n+4

)（11分）
∴S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1
=

3

2

[(

1

3

-

1

5

)+(

1

4

-

1

6

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

n+1

-

1

n+3

)+(

1

n+2

-

1

n+4

)]+（

1

n+2

-

1

n+4

）]
=

3

2

[(

1

3

+

1

4

-

1

n+3

-

1

n+4

)]，
∴

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

3

2

[(

7

12

-

1

n+3

-

1

n+4

)]
=

3

2

[(

7

12

-

lim

n→∞

1

n+3

-

lim

n→∞

1

n+4

)]=

7

8

．（12分）

点评：本题考查数列和解析几何的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．