Question

19．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最大值是$2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由直线过定点可得AB的坐标，由直线垂直可得|PA|²+|PB|²=|AB|²=10，由基本不等式可得．

解答 解：由题意可得动直线x+my=0过定点A（0，0），
直线mx-y-m+3=0可化为（x-1）m+3-y=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{3-y=0}\end{array}\right.$可解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即B（1，3），
又1×m+m×（-1）=0，故两直线垂直，
∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10，
由基本不等式可得10=|PA|²+|PB|²
=（|PA|+|PB|）²-2|PA||PB|
≥（|PA|+|PB|）²-2（$\frac{|PA|+|PB|}{2}$）²
=$\frac{1}{2}$（|PA|+|PB|）²，
∴（|PA|+|PB|）²≤20，
解得|PA|+|PB|≤2$\sqrt{5}$
当且仅当|PA|=|PB|=$\sqrt{5}$时取等号．
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查两点间的距离公式，涉及直线过定点和整体利用基本不等式求最值，属中档题．