Question

（2013•永州一模）若两整数a，b除以同一个整数m，所得余数相同，则称a，b对模m同余．即当a，b，m∈z时，若

a-b

m

=k（k∈z，k≠0），则称a、b对模m同余，用符号a=b（modm）表示．
（1）若6=b（mod2）且0＜b＜6，则b的所有可能取值为

2，4

；
（2）若a=10（modm）（a＞10，m＞1），满足条件的a由小到大依次记为a₁，a₂…a_n，…，当数列{a_n}前m-1项的和为60（m-1）时，则m=

10

．

Answer 1

分析：（1）由两数同余的定义，m是一个正整数，对两个正整数a、b，若a-b是m的倍数，则称a、b模m同余，我们易得若6=b（mod2），则6-b为2的整数倍，则b=6-2n，n∈Z，再根据0＜b＜6易得答案．
（2）若a=10（modm）（a＞10，m＞1），由两数同余的定义得，a=10+mn，n∈N^*，又a＞10，m＞1，分别取n=1，2，3，…，m-1得数列{a_n}前m-1项10+m，10+2m，10+3m，…，10+m（m-1），再根据数列{a_n}前m-1项的和60（m-1）结合等差数列的求和公式列出关于m的方程，即可求出m的值．

解答：解：（1）由两数同余的定义，
m是一个正整数，对两个正整数a、b，若a-b是m的倍数，
则称a、b模m同余，
我们易得若6=b（mod2），b=6-2n，n∈Z，又0＜b＜6，
故b=2，4满足条件．
（2）若a=10（modm）（a＞10，m＞1），由两数同余的定义得，
a=10+mn，n∈N^*，又a＞10，m＞1，
故a=10+m，10+2m，10+3m，…，10+m（m-1）满足条件．
数列{a_n}前m-1项的和为（m-1）（10+m）+

1

2

（m-1）（m-2）m=60（m-1），
解得m=10．
故答案为：2，4；10．

点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．