Question

【题目】在数列{an}中，a1=1，an=nan-1，n=2，3，4，…

（I）计算a2，a3，a4，a5的值；

（Ⅱ）根据计算结果，猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

【答案】（I）根据已知，a2=2，a3=6，a4=24，a5=120, （II）见解析.

【解析】试题分析：

(1)由递推公式可得：a2=2，a3=6，a4=24，a5=120；

(2) 猜想{an}的通项公式为an=n!，利用数学归纳法的结论进行证明即可.

试题解析：

（I）根据已知，a2=2，a3=6，a4=24，a5=120，

（II）猜想{an}的通项公式为an=n!，

证明：①当n=1时，由已知a1=1；由猜想a1=1!=1，猜想成立，

②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即ak=k !

则n=k+1时，ak+1=（k+1）ak=（k+1）·k!=（k+1）!，

所以当n=k+1时，猜想也成立，

由①和②可知，an=n!对于任意n∈N*都成立．