Question

已知负数a和正数b，令a₁=a，b₁=b，且对任意的正整数k，当

ak+bk

2

≥0时，有a_k+1=a_k，b_k+1=

ak+bk

2

；
当

ak+bk

2

＜0，有a_k+1=

ak+bk

2

，b_k+1=b_k．
（1）求b_n-a_n关于n的表达式；
（2）是否存在a，b，使得对任意的正整数n都有b_n＞b_n+1？请说明理由．
（3）若对任意的正整数n，都有b_2n-1＞b_2n，且b_2n=b_2n+1，求b_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）通过计算转化建立{b_n-a_n}的相邻两项之间的关系是解决本题的关键，发现该数列是等比数列，从而确定出通项公式；
（2）首先假设存在合题意的a，b，然后确定出b_n的关系式是解决本题的关键，通过分析其相邻项之间的关系达到解决该题的目的；
（3）通过b_n的相应项之间的关系得到关于n的不等关系，利用加减项的方法确定出b_n的表达式是解决本题的关键，注意对项数奇偶的讨论．

解答：解：（1）当

ak+bk

2

≥0时，b_k+1-a_k+1=

ak+bk

2

-a_k=

bk-ak

2

；
当

ak+bk

2

＜0，b_k+1-a_k+1=b_k-

ak+bk

2

=

bk-ak

2

．
所以，总有b_k+1-a_k+1=

1

2

（b_k-a_k），
因此，数列{b_n-a_n}是首项为b-a，公比为

1

2

的等比数列．
所以b_n-a_n=（b-a）（

1

2

）^n-1．
（2）假设存在a，b，对任意的正整数n都有b_n＞b_n+1，即a_n=a_n+1．
所以a_n=a_n-1=…=a₁=a，又b_n-a_n=（b-a）（

1

2

）^n-1，所以b_n=a+（b-a）（

1

2

）^n-1，
又

an+bn

2

≥0，即a+（b-a）（

1

2

）ⁿ≥0，即2ⁿ≤

a-b

a

，
因为

a-b

a

是常数，故2ⁿ≤

a-b

a

不可能对任意正整数n恒成立．
故不存在a，b，使得对任意的正整数n都有b_n＞b_n+1．
（3）由b _2n-1＞b_2n，可知a _2n-1=a_2n，b_2n=

a2n-1+b2n-1

2

，
所以b_2n=

a2n+b2n-1

2

，即b_2n-b _2n-1=-（b_2n-a_2n）=-（b-a）（

1

2

）^2n-1．
又b_2n=b _2n+1，故b _2n+1-b _2n-1=-（b_2n-a_2n）=-（b-a）（

1

2

）^2n-1．
∴b _2n-1=（b _2n-1-b _2n-3）+（b _2n-3-b _2n-5）+…+（b₃-b₁）+b₁
=（a-b）[（

1

2

）^2n-3+（

1

2

）^2n-5+…+（

1

2

）¹]+b=

2

3

（a-b）[1-（

1

4

）^n-1]+b．
当n为奇数时，令n=2m-1，可得b_n=b _2m-1=

2

3

（a-b）[1-（

1

4

）^m-1]+b=

2

3

（a-b）[1-（

1

2

）^n-1]+b，
当n为偶数时，可得b_n=b _n+1=

2

3

（a-b）[1-（

1

2

）ⁿ]+b，
故b_n=

2 3 (a-b)[1-( 1 2 )n-1]+b(n为奇数) 2 3 (a-b)[1-( 1 2 )n]+b(n为偶数)

．

点评：本题考查数列的综合问题，考查数列的递推关系与通项公式之间的关系，考查学生探究性问题的解决方法，注意体现转化与化归思想的运用，考查学生分析问题解决问题的能力和意识．