Question

设函数f（x）=ax²+8x+3（a＜0）
（1）a=-2时，对x∈[0，t]（t＞0），f（x）≥-5总成立，求t的最大值；
（2）对给定负数a，有一个最大正数g（a），使得在整个区间[0，g（a）]上，不等式|f（x）|≤5都成立，问：a为何值时，g（a）最大？

Answer 1

分析：（1）由题意可得，f（x）=-2x²+8x+3=-2（x-2）²+11，由题意可得，只要f（t）≥-5，从而可求t的范围，即可
（2）由f(x)=a(x+

4

a

)2+3-

16

a

，可知x=-

4

a

时，f(x)max=3-

16

a

，（i）若3-

16

a

＞5时，g（a）为方程f（x）=5的较小根（ii）若3-

16

a

≤5，即a≤-8时，g（a）为方程f（x）=-5的较大根，从而可求

解答：解：（1）当a=-2时，f（x）=-2x²+8x+3=-2（x-2）²+11
只要f（t）≥-5得0＜t≤2+2

2

∴tmax=2+2

2

（2）f(x)=a(x+

4

a

)2+3-

16

a

，当x=-

4

a

时，f(x)max=3-

16

a

（i）若3-

16

a

＞5即-8＜a＜0，此时g（a）为方程f（x）=5的较小根
g（a）=

-4+ 16+2a

a

=

2

16+2a +4

＜

1

2

（ii）若3-

16

a

≤5，即a≤-8时，g（a）为方程f（x）=-5的较大根，
g（a）=

-4- 16-8a

a

=

4

4-2a -2

≤

1+ 5

2

当a=-8时，g（a）最大

点评：本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值的求解，体现了分类讨论思想在解题中的应用．