分析 (1)以B1为原点,B1A1为x轴,B1C1为y轴,B1B为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出AD1与EF所成角的大小.
(2)求出平面BEB1的法向量和$\overrightarrow{AF}$,利用向量法能求出AF与平面BEB1所成角的余弦值.
解答 解:(1)以B1为原点,B1A1为x轴,B1C1为y轴,B1B为z轴,建立空间直角坐标系,
∵位正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是棱B1C1、C1D1的中点,
∴A(1,0,1),D1(1,1,0),E(0,$\frac{1}{2}$,0),F($\frac{1}{2}$,1,0),
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=(0,1,-1),$\overrightarrow{EF}$=($\frac{1}{2},\frac{1}{2}$,0),
设AD1与EF所成角为θ,
则cosθ=|cos<$\overrightarrow{A{D}_{1}},\overrightarrow{EF}$>|=|$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$|=$\frac{1}{2}$,
∴θ=60°.
∴AD1与EF所成角为60°.
(2)B(0,0,1),B1(0,0,0),
$\overrightarrow{AF}$=(-$\frac{1}{2}$,1,-1),$\overrightarrow{BE}$=(0,$\frac{1}{2}$,-1,$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=(0,$\frac{1}{2}$,0),
设平面BEB1的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{BE}_{\;}}=\frac{1}{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}E}=\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$,∴$\overrightarrow{n}$=(1,0,0),
设AF与平面BEB1所成角为θ,
则sinθ=|cos<$\overrightarrow{AF},\overrightarrow{n}$>|=|$\frac{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AF}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{9}{4}}}$|=$\frac{1}{3}$.
cosθ=$\sqrt{1-(\frac{1}{3})^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
∴AF与平面BEB1所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查线面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (3,2) | B. | ($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$) | C. | (2,3)或($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$) | D. | (3,2)或($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$) |
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