Question

6．曲线C是平面内到定点F（0，2）和定直线：y=-2的距离之和等于6的点的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于y轴对称； ③若点P（x，y）在曲线C，则|y|≤2；
④若点P（x，y）在曲线C，则|PF|的最大值是6．其中，所有正确结论的序号是②④．

Answer 1

分析 设出曲线上的点的坐标，求出曲线方程，即可判断选项的正误．

解答 解：设P（x，y）是曲线C上的任意一点．
因为曲线C是平面内到定点F（0，2）和定直线：y=-2的距离之和等于6的点的轨迹，
所以|PF|+|y+2|=6．即$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$+|y+2|=6，
解得y≥-2时，y=4-$\frac{1}{4}$x²，当y＜-2时，y=$\frac{1}{20}$x²-3；
显然①曲线C过坐标原点，不正确；②曲线C关于y轴对称；正确．
③若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤4，不正确．
④若点P在曲线C上，|PF|+|y+2|=6，|y|≤4，则|PF|≤6．正确．
故答案为：②④．

点评 本题考查曲线轨迹方程的求法，曲线的基本性质的应用，考查计算能力．