Question

设函数f（x）的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的x₁≠x₂；有f（x₁-x₂）=

1+f(x1)f(x2)

f(x2)-f(x1)

，则f（x）为

 

（填“偶函数”、“奇函数”）．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：对定义域内任意x存在x₁和x₂，使x=x₁-x₂，同样存在x₁和x₂，使-x=x₂-x₁，根据条件可得f（x₁-x₂）与f（x₂-x₁）的关系，即f（x）与f（-x）间的关系，根据奇偶函数定义即可判断．

解答： 解：函数f（x）在定义域内是奇函数．
因为在定义域内，对任意x存在x₁和x₂，使x=x₁-x₂，
且满足f（x₁-x₂）=

1+f(x1)f(x2)

f(x2)-f(x1)

，
由于函数f（x）的定义域关于原点对称，-x必与x同时在定义域内，
同样存在x₁和x₂，使-x=x₂-x₁，且满足：f（-x）=f（x₂-x₁）=

1+f(x2)f(x1)

f(x1)-f(x2)

，
即f（x）=-f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）在定义域内是奇函数．
故答案为：奇函数．

点评：本题考查抽象函数奇偶性的判断，属中档题，定义是解决该类问题的基本方法．