Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+4，n∈N*．

（1）证明：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=（a2n+2）log3（an+2），求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析，．(2)．

【解析】

（1）首项利用定义得出数列为等比数列，进一步求出数列的通项公式．

（2）利用数列的通项公式，求出通项，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．

证明：（1）数列{an}满足a1=1，an+1=3an+4，

整理得an+1+2=3（an+2），n∈N*．

即（常数），

所以数列{an+2}是以3为首项，3为公比的等比数列．

故，

整理得．

（2）由于，所以bn=（a2n+2）log3（an+2）=n9n，

所以①，

9②，

①-②得：=，

所以．