Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=

1

2

，且a_n+2=

an+12

an+an+1

(n∈N*)．
（I）求证：数列{

an

an+1

}为等差数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）求下表中前n行所有数的和S_n．

Answer 1

分析：（1）把所给的递推式整理，构造要求的数列形式，仿写一个递推式，用数列的后一项去减前一项，合并同类项，发现满足等差中项公式，得到结论．
（2）写出（1）中的数列通项，用叠乘的方法把其他项都约去，得到第n项和第一项，因第一项可求出结果，所以得到通项公式．
（3）根据表中构造的新数列，由它的特点写出第n行的各数之和，代入所求数列的通项，整理出组合数形式，用二项式定理的各项系数之间的关系，得到第n行的各数之和，于是构造一个新数列用等比数列前n项和公式求解．

解答：解：（I）∵

an+1

an+2

-

an

an+1

=

an+an+1

an+1

-

an-1+an

an

=

an

an+1

-

an-1

an

，
∴2

an

an+1

=

an+1

an+2

+

an-1

an

，
∴数列满足等差中项公式为等差数列．

（II）由（I）得

an

an+1

=

a1

a2

+(n-1)•1=n+1
故当n≥2时，

a1

an

=

a1

a2

•

a2

a3

••

an-1

an

=2×3××n=n!
即an=

1

n!

又当n=1时，满足上式
所以通项公式为an=

1

n!

(n∈N*)．

（III）∵

akan-k+1

an+1

=

(n+1)!

k!(n-k+1)!

=

C

k n+1

(k=1，2，n)
∴第n行各数之和

a1an

an+1

+

a2an-1

an+1

++

ana1

an+1

=

C

1 n+1

+

C

2 n+1

++

C

n n+1

=2n+1-2(n=1，2，)
∴表中前n行所有数的和
S_n=（2²-2）+（2³-2）++（2ⁿ⁺¹-2）
=（2²+2³++2ⁿ⁺¹）-2n
=

22(1-2n)

1-2

-2n
=2ⁿ⁺²-2n-4

点评：有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现．