Question

6．如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，平面SAD⊥平面SCD，$SA=SD=2\sqrt{2}$．
（1）求证：平面SAD⊥平面ABCD；
（2）E为线段DS上一点，若二面角S-BC-E的平面角与二面角D-BC-E的平面角大小相等，求SE的长．

Answer 1

分析 （1）推导出DC⊥AD，从而DAD⊥SD，进而SD⊥平面 ABCD，由此能证明平面SAD⊥底面ABCD．
（2）取AD中点M，连接SM，以M为原点，$\overrightarrow{MD}，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{MS}$方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出SE的长．

解答 证明：（1）∵底面ABCD是边长为4的正方形，平面SAD⊥平面SCD，
∴DC⊥AD，
∴AD⊥平面SCD，∴AD⊥SD，
∵CD∩SD=D，∴SD⊥平面 ABCD，
∵SD?底面ASD，
∴平面SAD⊥底面ABCD
解：（2）取AD中点M，连接SM，
∵SA=AD，∴SM⊥AD，
又∵平面SAD⊥底面ABCD，
∴SM⊥平面ABCD
以M为原点，$\overrightarrow{MD}，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{MS}$方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设平面BCS的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
S（0，0，2），B（-2，4，0），C（2，4，0），
$\overrightarrow{BC}=（4，0，0），\overrightarrow{BS}=（2，-4，2）$
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=4x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BS}=2x-4y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，2），
设$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DS}=（{-2λ，0，2λ}）$，∴E（2-2λ，0，2λ），
由上同理可求出平面BCE的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，λ，2），
由平面BCD、BCS与平面BCE所成的锐二面角的大小相等可得：
$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$，即$\frac{2}{\sqrt{4+{λ}^{2}}}$=$\frac{4+λ}{\sqrt{5}•\sqrt{4+{λ}^{2}}}$，
解得$λ=2\sqrt{5}-4$，
∴$SE=10\sqrt{2}-4\sqrt{10}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线段长的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．