已知函数.
(1)求函数的单调递减区间;
(2)若,证明:
.
(1)(0,+∞)(2)由⑴知,当x∈(-1,0)时,>0,当x∈(0,+∞)时,
<0,因此,当
时,
≤
,即
≤0∴
.
令,则
=
∴ 当x∈(-1,0)时,
<0,当x∈(0,+∞)时,
>0.∴ 当
时,
≥
,即
≥0,∴
综上可知,当
时,有
解析试题分析:⑴函数f(x)的定义域为.
=
-1=-
.
由<0及x>-1,得x>0.∴ 当x∈(0,+∞)时,f(x)是减函数,即f(x)的单调递减区间为(0,+∞).
⑵证明:由⑴知,当x∈(-1,0)时,>0,当x∈(0,+∞)时,
<0,
因此,当时,
≤
,即
≤0∴
.
令,则
=
.……………8分
∴ 当x∈(-1,0)时,<0,当x∈(0,+∞)时,
>0.
∴ 当时,
≥
,即
≥0,∴
.
综上可知,当时,有
.……………………………………12分
考点:求函数单调区间及证明不等式
点评:求单调区间时首先确定其定义域,第二问将证明不等式问题转化为求函数最值问题,进而可利用导数通过求其最值确定不等式的正确性
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