Question

17．下列函数中，满足“f（xy）=f（x）+f（y）”的单调递减函数是（　　）

• A． f（x）=lnx
• B． f（x）=-x³
• C． f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x
• D． f（x）=3^-x

Answer 1

分析 根据条件可知，对数函数符合条件，f（xy）=f（x）+f（y），再给出证明，最后根据函数的单调性确定选项．

解答 解：对数函数符合条件f（xy）=f（x）+f（y），证明如下：
设f（x）=log_ax，其中，x＞0，a＞0且a≠1，
则f（xy）=log_axy=log_ax+log_ay=f（x）+f（y），
即对数函数f（x）=log_ax，符合条件f（xy）=f（x）+f（y），
同时，f（x）单调递减，则a∈（0，1），
综合以上分析，对数函数f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$符合题意，
故答案为：C．

点评 本题主要考查了抽象函数及其应用，涉及抽象函数的运算和函数模型的确定，以及对数的运算性质，属于基础题．