【题目】如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形,且∠ABC=60°,
AB=PC=2,PA=PB= .
(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;
(2)设H是PB上的动点,求CH与平面PAB所成最大角的正切值.
【答案】
(1)
证明:取AB中点O,连结PO、CO,
∵PA=PB= ,AB=2,∴△PAB为等腰直角三角形,
∴PO=1,PO⊥AB,
∵AB=BC=2,∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,
∴ ,又PC=2,
∴PO2+CO2=PC2,∴PO⊥CO,
又AB∩CO=O,AB平面ABCD,CO平面ABCD,
∴PO⊥平面ABC,又PO平面PAB,
∴平面PAB⊥平面ABCD.
(2)
解:∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,OC⊥AB,OC平面ABCD,
∴OC⊥平面PAB,
∴∠CHO为CH与平面PAB所成的角.
∵tan∠CHO= ,∴当OH⊥PB时,OH取得最小值,此时tan∠CHO取得最大值.
当OH⊥PB时,OH= = .
∴tan∠CHO= = .
【解析】(1)取AB中点O,连结PO、CO,由PA=PB可得PO⊥AB,利用特殊三角形的性质计算PO,OC,PC,可证PO⊥OC,于是PO⊥平面ABCD,故平面PAB⊥平面ABCD;(2)由面面垂直的性质可知∠CHO为CH与平面PAB所成的角,故当OH最小值,tan∠CHO= 取得最大值.
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点,需要掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则才能正确解答此题.
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【题目】设函数f(x)=x2﹣ax+a+3,g(x)=ax﹣2a.
(1)若函数h(x)=f(x)﹣g(x)在[﹣2,0]上有两个零点,求实数a的取值范围;
(2)若存在x0∈R,使得f(x0)≤0与g(x0)≤0同时成立,求实数a的最小值.
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【题目】已知函数 .
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间;
(2)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=7,若锐角A满足 ,且 ,求△ABC的面积.
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【题目】已知函数,且定义域为.
(1)求关于的方程在上的解;
(2)若在区间上单调减函数,求实数的取值范围;
(3)若关于的方程在上有两个不同的实根,求实数的取值范围.
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【题目】下列所给4个图象中,与所给3件事吻合最好的顺序为 ( )
(1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学;
(2)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速;
(3)我骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间.
A. (1)(2)(4) B. (4)(2)(1) C. (4)(3)(1) D. (4)(1)(2)
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【题目】“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1~8号8扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎),选手需正确答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中,发现参赛选手大多在以下两个年龄段:21~30,31~40(单位:岁),统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如图所示.
(参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d)
(1)写出2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关,说明你的理由.(下面的临界值表供参考)
P(K2≥k0) | 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
(2)在统计过的参考选手中按年龄段分层选取9名选手,并抽取3名幸运选手,求3名幸运选手中在21~30岁年龄段的人数的分布列和数学期望.
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