Question

（本题10分）已知函数
（1）利用函数单调性的定义，判断函数在上的单调性；
（2）若，求函数在上的最大值。

Answer 1

（1）在上单调递增。 （2）。

本试题主要是考查了函数的单调性的证明以及运分段函数求解最值的综合运用。
（1）设，
则变形得到证明。
（2）由（1）可知，当时，（5分）
、
然后分情况求解各段的最值。
解：（1）设，
则
（2分）
因为，所以，，所以（3分）
所以在上单调递增。（4分）
（2）由（1）可知，当时，（5分）
，
①若，则在上单调递减，的最大值为（6分）
②若在上单调递减，在上单调递增，（7分）
且，，
所以当时，的最大值为，（8分）
当时，的最大值为（9分）
综上，（10分）