Question

【题目】如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，是棱的中点.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）根据平面，四边形是矩形，由为中点，且，利用平面几何知识，可得，又平面，所以，根据线面垂直的判定定理可有平面，从而得证.

（2）分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，得到，，，，分别求得平和平面的法向量，代入二面角向量公式求解.

（1）证明：∵平面，

∴四边形是矩形，

∵为中点，且，

∴，

∵，，，

∴.∴，

∵，∴与相似，

∴，∴，

∴，

∵，∴平面，

∴平面，

∵平面，∴，

∴平面，∴.

（2）如图，

分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，

设平面的法向量为，则，，

解得：，

同理，平面的法向量，

设二面角的大小为，

则.

即二面角的余弦值为.