Question

如图，已知圆锥的底面直径和母线长均为4，过OA上一点P作平面α，当OB∥α时平面a截圆锥所得的截口曲线为抛物线，设抛物线的焦点为F，若OP=1，则|PF|长为（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．1
• D．2

Answer 1

分析：设抛物线与圆锥底面交点为C、D，连结CD交AB于点E，连结PE，则PE∥OB且抛物线焦点F在PE上，连结BC、AC．利用平行线的性质证出△PAE是边长为3的正三角形，在底面圆Rt△ABC中利用射影定理算出CE=

3

，然后以P为原点，PF所在直线为x轴建立直角坐标系，设出抛物线的方程并利用点C的坐标算出p=

1

2

，即可得到|PF|长为

1

4

．

解答：解：如图1所示
设抛物线与圆锥底面交点为C、D，连结CD交AB于点E，
连结PE，则PE∥OB且点F在PE上，连结BC、AC
∵正△OAB中，PE∥OB
∴△PAE是正三角形，边长AE=AP=4-1=3
∵AB是底面圆的直径，CE⊥AB于E
∴CE²=BE•AE=3，可得CE=

3

       图1                    图2
在平面α内，以P为原点，PF所在直线为x轴建立如图2所示直角坐标系
设抛物线的方程为y²=2px（p＞0）
由C点坐标（3，

3

），得（

3

）²=2p•3，所以p=

1

2

因此，|PF|长为

p

2

=

1

4

，
故答案为：

1

4

点评：本题给出平面α截圆锥得抛物线，在已知圆锥顶点到抛物线顶点的距离情况下，求抛物线顶点到其焦点的距离．着重考查了圆锥的性质、抛物线的定义及简单几何性质、相似三角形和射影定理等知识，属于中档题．