Question

已知函数f（x）=e^x-x²-ax．
（Ⅰ）若a＜0，求f（x）在[-2，0]上的最大值；
（Ⅱ）如果函数f（x）恰有两个不同的极值点x₁，x₂，x₁＜x₂．①证明：x₁＜In2；②求f（x₁）的最小值，并指出此时a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出导函数f′（x），根据a＜0，可以确定当x∈[-2，0]时，f（x）为单调递增函数，从而得到求f（x）在[-2，0]上的最大值；
（Ⅱ）对函数f（x）求导，根据题意可得x₁，x₂是f′（x）=0的根，
①令h（x）=e^x-2x-a，求导判断函数的单调性，从而得到函数h（x）在x=ln2时取得极小值，从而证得x₁＜ln2；
②根据题意可知，x₁是h′（x）=0的根，利用参变量分离，可得a=ex1-2x1，从而得到f（x₁）的表达式，利用导数，判断出单调性，即可求得函数f（x₁）的最小值，从而求得a的值．

解答：解：（I）∵函数f（x）=e^x-x²-ax，
∴f'（x）=e^x-2x-a（a＜0），
∵当x∈[-2，0]时，f'（x）＞0，
∴f （x）在[-2，0]上是单调递增函数，
∴f（x）_max=f（0）=1，
∴若a＜0，求f（x）在[-2，0]上的最大值为1；
（II）∵函数f（x）恰有两个不同的极值点x₁，x₂，
∴方程e^x-2x-a=0有两个不同的零点x₁，x₂，
令h（x）=e^x-2x-a，
①证明：∵h（x）=e^x-2x-a，
∴h'（x）=e^x-2，
当x＜ln2时，h'（x）＜0，则h（x）在（-∞，ln2）上是单调第减函数，
当x＞ln2时，h'（x）＞0，则h（x）在（ln2，+∞）上是单调递增函数，
∴h（x）在x=ln2时取得极小值，即最小值，
∴x₁＜ln2；
②∵x₁是f（x）的极值点，
∴h（x₁）=0，即ex1-2x1-a=0，
∴a=ex1-2x1，
∴f(x1)=ex1-

x

2 1

-(ex1-2x1)•x1=(1-x1)ex1+

x

2 1

，
∴f′(x1)=x1(2-ex1)，
由①可知，x₁＜ln2，
∴2-ex1＞0，
∴当x₁＜0时，f'（x₁）＜0，则f（x₁）在（-∞，0）上是单调递减函数，
当0≤x₁＜ln2时，f'（x₂）＞0，则f（x₁）在（0，+∞）上是单调递增函数，
∴f （x₁）在（-∞，ln2）上的极小值为f（0）=1，即最小值，
∴当x=0时，f （x₁）在（-∞，ln2）上取得最小值，
∵a=ex1-2x1，
∴a=e⁰-2×0=1，
故f（x₁）的最小值为1，此时a的值为1．

点评：本题考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．同时考查了利用导数研究函数的极值，求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着函数的单调性．