Question

5．若实数m，n为关于x的一元二次方程Ax²+Bx+C=0的两个实数根，则有Ax²+Bx+C=A（x-m）（x-n），由系数可得：$m+n=-\frac{B}{A}，且m•n=\frac{C}{A}$．设x₁，x₂，x₃为关于x的方程f（x）=x³-ax²+bx-c=0，（a，b，c∈R）的三个实数根．
（1）写出三次方程的根与系数的关系；即x₁+x₂+x₃=a；x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁=b；x₁•x₂•x₃=c
（2）若a，b，c均大于零，试证明：x₁，x₂，x₃都大于零；
（3）若a∈Z，b∈Z，|b|＜2，f（x）在x=α，x=β处取得极值，且-1＜α＜0＜β＜1，求方程f（x）=0三个实根两两不相等时，实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）类比二次方程的根与系数的关系，可得结论；
（2）利用反证法证明即可；
（3）求导数，先确定b，a，再利用f（x）在$α=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$处取得极大值，在$β=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$处取得极小值．方程f（x）=0三个实根两两不相等，即可求出实数c的取值范围．

解答 解：（1）x₁+x₂+x₃=a，x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁=b，x₁•x₂•x₃=c；
（2）由（1）知c=x₁•x₂•x₃＞0即x₁，x₂，x₃全为正实数或一正两负
假设x₁，x₂，x₃中有一个为正数，两个为负数，不妨设x₁＞0，x₂＜0，x₃＜0，a=x₁+x₂+x₃＞0，
即x₁＞-（x₂+x₃）
又x₂+x₃＜0
∴${x_1}（{x_2}+{x_3}）＜-{（{x_2}+{x_3}）^2}$$b={x_1}{x_2}+{x_2}{x_3}+{x_3}{x_1}={x_1}（{x_2}+{x_3}）+{x_2}{x_3}＜-{（{x_2}+{x_3}）^2}+{x_2}{x_3}$=$-{x_2}^2-{x_3}^2-{x_2}{x_3}＜0$矛盾，
∴x₁，x₂，x₃都大于零．
（3）f′（x）=3x²-2ax+b，则f'（x）=0的两个不等实根为α，β
∵-1＜α＜0＜β＜1，
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（-1）=3+2a+b＞0\\ f'（0）=b＜0\\ f'（1）=3-2a+b＞0\end{array}\right.$，可得-3＜b＜0
又b∈Z，|b|＜2，
∴b=-1，
∴-1＜a＜1，
又a∈Z，∴a=0
即 f（x）=x³-x-c，f'（x）=3x²-1
令f'（x）=0得$x=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
即f（x）在$α=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$处取得极大值，在$β=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$处取得极小值．
∵方程f（x）=0三个实根两两不相等，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（α）＞0\\ f（β）＜0\end{array}\right.$得$-\frac{{2\sqrt{3}}}{9}＜c＜\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$．

点评 本题考查类比推理．考查反证法，考查导数知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．