【题目】已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F在x轴的正半轴上,过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点,且满足 .
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若点M在抛物线C的准线上运动,其纵坐标的取值范围是[﹣1,1],且 ,点N是以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线的一个公共点,求点N的纵坐标的取值范围.
【答案】
(1)解:设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),其焦点F的坐标为
直线l的方程为 ,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程 消去x得:y2﹣2pty﹣p2=0,
所以 ,
因为 ,解得p=1,
所以所求抛物线C的标准方程为y2=2x
(2)解:设点 ,
由(1)知, ,所以 ,
因为 ,
所以(t﹣m)2=9得t=m+3或t=m﹣3,
因为﹣1≤m≤1,∴2≤t≤4或﹣4≤t≤﹣2,
由抛物线定义可知,以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切,
所以点N的纵坐标为 ,
所以点N的纵坐标的取值范围是[﹣4,﹣2]∪[2,4]
【解析】(1)设出抛物线方程,联立方程 消去x得:y2﹣2pty﹣p2=0,利用韦达定理及向量的数量积公式,求出p,即可求抛物线的方程;(2)由(1)知, ,结合 ,确定t的范围,根据抛物线的定义可知,以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,可得点N的纵坐标为 ,即可求出点N的纵坐标的取值范围.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为 ,求△AOB面积的最大值.
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【题目】下列四个结论中正确的个数是( ) ①“x2+x﹣2>0”是“x>1”的充分不必要条件
②命题:“x∈R,sinx≤1”的否定是“x0∈R,sinx0>1”.
③“若x= ,则tanx=1,”的逆命题为真命题;
④若f(x)是R上的奇函数,则f(log32)+f(log23)=0.
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1 , F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知抛物线C1:y= x2(p>0)的焦点与双曲线C2: ﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M,若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|,其中a>1
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集;
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},求a的值.
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【题目】已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2a﹣c)cosB=bcosC,求 的取值范围.
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