Question

20．已知数列{a_n}（n∈N^*）中，a₁=2，a₂=3，当n≥3时，a_n=3a_n-1-2a_n-2，则a_n=2^n-1+1．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得，数列{a_n+1-a_n}构成以1为首项，以2为公比的等比数列，求其通项公式后，利用累加法求得a_n．

解答 解：由a_n=3a_n-1-2a_n-2，得a_n-a_n-1=2（a_n-1-a_n-2）（n≥3），
∵a₁=2，a₂=3，
∴a₂-a₁=1≠0，
则数列{a_n+1-a_n}构成以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n-1}$．
则a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2^n-2+2^n-1+…+2⁰+2=$\frac{1×（1-{2}^{n-1}）}{1-2}+2={2}^{n-1}+1$．
故答案为：2^n-1+1．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．