Question

已知函数f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=asin

πx

6

-2a+2（a＞0），若对任意x₁∈[0，1]，都存在x₂∈[0，1]，使f（x₂）=g（x₁）成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：条件等价为f（x）_max≤g（x）_max，且f（x）_min≥g（x）_min即可．

解答： 解：f（x）=

2x2

x+1

=

2(x+1)2-4(x+1)+2

x+1

=2（x+1）+

2

x+1

-4，
∵x∈[0，1]，∴x+1∈[1，2]，
设t=x+1，则t∈[1，2]，
则函数f（x）等价为h（t）=2t+

2

t

-4=2（t+

1

t

）-4，则t∈[1，2]为增函数，
则f（x）_max=h（2）=1，f（x）_min=h（1）=0，
∵x∈[0，1]，∴

πx

6

∈[0，

π

6

]，
∵a＞0，
∴g（x）_max=g（1）=

1

2

a-2a+2=2-

3

2

a，
g（x）_min=g（0）=2-2a，
若对任意x₁∈[0，1]，都存在x₂∈[0，1]，使f（x₂）=g（x₁）成立等价为f（x）_max≤g（x）_max，且f（x）_min≥g（x）_min．
即

1≤2- 3 2 a 0≥2-2a

，
则

a≤ 2 3 a≥1

，即1≤a≤

2

3

，即不等式不成立，
故答案为：∅．

点评：本题主要考查了三角函数的最值，函数的值域问题，不等式的应用．解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．