Question

19、设f（x）为奇函数，对任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2，求f（x）在[-3，3]上的最值．

Answer 1

分析：根据题意先证明单调性，用单调性定义，先设x+y=x₁，x=x₂，且x₁＞x₂，y=x₁-x₂f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），
再由x＞0时，f（x）＜0来判断符号，然后利用单调性求得最值．

解答：解：设x+y=x₁，x=x₂，且x₁＞x₂，y=x₁-x₂
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＜0
∴f（x）在定义域上是减函数．
又∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6
又∵f（x）为奇函数，
∴f（-3）=-f（3）=6
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为：f（-3）=6，最小值为：f（3）=-6

点评：本题考查的是抽象函数，涉及到其单调性和最值，解决这类问题关键是利用好条件，将问题转化到函数性质的定义上去应用．