Question

从集合{x|1≤x≤11，且x∈N^*}中选出5个元素构成该集合的一个子集，且此子集中任何两个元素的和不等于12，则这样的不同子集共有________个（用数字作答）．

Answer 1

112
分析：由12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，知11个元素中和为12的正好是5对，选出5个元素构成该集合的一个子集，且此子集中任何两个元素的和不等于12的不同取法有两种：一是在五对中各取一个，不同的取法有：2⁵=32种；二是在五对中选取四对，从选取中的四对中各取一个，再取一个元素6，不同的取法有：C₅¹•2⁴=80种．由此能求出任何两个元素的和不等于12的不同子集的个数．
解答：∵12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，
11个元素中和为12的正好是5对，
∵此子集中任何两个元素的和不等于12，
∴取了1就不能取11，2不能取10，…等等，
即5对里每对只能取2个数中的1个，
∴选出5个元素构成该集合的一个子集，
且此子集中任何两个元素的和不等于12的不同取法有两种：
一是在五对中各取一个，不同的取法有：2⁵=32种；
二是在五对中选取四对，从选取中的四对中各取一个，再取一个元素6，
不同的取法有：C₅¹•2⁴=80种．
故这样的不同子集共有：32+80=112个．
故答案为：112．
点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，解题时要认真审题，注意合理分类，易错点是分类不清，导致出错．