Question

12．设O为坐标原点，A（4，a），B（b，8），C（a，b），
（Ⅰ）若四边形OABC是平行四边形，求∠AOC的大小；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设AB中点为D，OD与AC交于E，求向量$\overrightarrow{OE}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}$求出a，b；然后求解数量积．
（Ⅱ）求出D的坐标，E的坐标．利用$\overrightarrow{CE}∥\overrightarrow{CA}$求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意：$\overrightarrow{OA}=（4，a），\overrightarrow{CB}=（b-a，8-b）$，
由$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}$得$\left\{\begin{array}{l}b-a=4\\ 8-b=a\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=6\end{array}\right.$…（3分）
所以$\overrightarrow{OA}=（4，2），\overrightarrow{OC}=（2，6），\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=8+12=20$
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=|{\overrightarrow{OA}}||{\overrightarrow{OC}}|cos∠AOC=2\sqrt{5}×2\sqrt{10}×cos∠AOC=20\sqrt{2}cos∠AOC$
所以$cos∠AOC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，即∠AOC={45°}$…（7分）
（Ⅱ）因为D为AB中点，所以D的坐标为（5，5），
又由$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OD}$，故E的坐标为（5λ，5λ）…．（9分）
所以$\overrightarrow{CE}=（5λ-2，5λ-6），\overrightarrow{CA}=（2，-4）$，
因为A，E，C三点共线，故$\overrightarrow{CE}∥\overrightarrow{CA}$…（11分）
得-4×（5λ-2）=（5λ-6）×2，解得$λ=\frac{2}{3}$，
从而$\overrightarrow{OE}=（\frac{10}{3}，\frac{10}{3}）$…．（12分）．

点评 本题考查向量共线的充要条件的应用，向量的数量积，考查计算能力．