Question

11．已知△ABC中，|AC|=1，∠ABC=$\frac{2π}{3}$，∠BAC=θ，记f（θ）=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$．
（1）求f（θ）关于θ的表达式；
（2）求f（θ）的值域及单调区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数f（θ）的解析式．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（θ）的值域，再利用正弦函数的单调性求得f（θ）的单调区间．

解答 解：（1）△ABC中，|AC|=1，∠ABC=$\frac{2π}{3}$，∠BAC=θ，由正弦定理有：$\frac{|BC|}{sinθ}$=$\frac{|AB|}{sin（\frac{π}{3}-θ）}$=$\frac{|AC|}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
求得|BC|=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinθ，|AB|=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），
故f（θ）=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）•$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinθ•cos（π-$\frac{2π}{3}$）
=$\frac{2}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）•sinθ=$\frac{2}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ）sinθ=$\frac{2}{3}$（ $\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθcosθ-$\frac{1}{2}$sin²θ ）
=$\frac{2}{3}$[$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2θ-$\frac{1}{4}$（1-cos2θ）]=$\frac{1}{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{6}$，0＜θ＜$\frac{π}{3}$．
（2）∵0＜θ＜$\frac{π}{3}$，∴2θ+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），∴f（θ）的值域为（0，$\frac{1}{6}$]，
当2θ+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），即 θ∈（0，$\frac{π}{6}$）时，f（θ）是增函数；
当2θ+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$），即 θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）时，f（θ）是减函数，
∴f（θ）的递增区间是（0，$\frac{π}{6}$），递减区间是（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）．

点评 本题主要考查正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，属于中档题．