Question

10．已知f（x）=x²-2ax-3a²
（1）设a=1，解不等式f（x）＞0；
（2）若不等式f（x）＜x的解集中有且仅有一个整数，求a的取值范围；
（3）若a＞$\frac{1}{4}$，且当x∈[1，4a]时，|f（x）|≤4a恒成立，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入函数的表达式，令f（x）＞0，解出即可；
（2）通过讨论a=0，a≠0两种情况，结合二次函数的性质，得到不等式组，从而求出a的范围；
（3）通过讨论a的范围，得到不等式组，解出即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
令f（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1；
（2）令g（x）=x²-（2a+1）x-3a²，
若a=0，则g（x）=x²-x，令g（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）＜x的解集为（0，1），不满足条件；
若a≠0，则g（0）＜0，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（{-1}）≥0}\end{array}}\right.$，得$\frac{{1-\sqrt{7}}}{3}≤a＜0$，
（3）若$\frac{1}{4}＜a≤1$，则$\left\{{\begin{array}{l}{|{f（1）}|≤4a}\\{|{f（{4a}）}|≤4a}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{|{1-2a-3{a^2}}|≤4a}\\{|{5{a^2}}|≤4a}\end{array}}\right.$，得$\frac{1}{4}＜a≤\frac{4}{5}$，
若a＞1，|f（4a）|=|5a²|≤4a不成立，
所以a的取值范围是（$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{5}$]．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查不等式的性质，是一道中档题．