Question

【题目】若函数的定义域为，满足对任意，，有，则称为型函数；若函数的定义域为，满足对任意，恒成立，且对任意，，有，则称为对数型函数．

（1）当函数时，判断是否为型函数，并说明理由．

（2）当函数时，证明：是对数型函数．

（3）若函数是型函数，且满足对任意，有，问是否为对数型函数？若是，加以证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）不是型函数，详见解析（2）证明见解析（3）是对数型函数，证明见解析

【解析】

（1）由，作差化简，得到当，同号时，此时，即可得到结论；

（2）因为恒成立，可利用分析法和函数的新定义，作出判定和证明．

（3）由的新定义和，得到，进而得到，再根据对数的运算性质，即可求解．

（1）由题，函数，

则

当，同号时，此时，

此时不满足，所以不是型函数．

（2）因为恒成立，

要证对任意，，，

即证对任意，，，

即证对任意，，．

因为，

所以是对数型函数

（3）函数是对数型函数．证明如下：

因为是型函数，所以对任意，，有，

又由对任意，有，所以，

所以，所以，

所以，

所以是对数型函数．