Question

20．在Rt△AOB中，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，|$\overrightarrow{OA}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{5}$，AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，若$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EA}$=$\frac{3}{4}$，则向量$\overrightarrow{EA}$在向量$\overrightarrow{OD}$上的投影为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$
• D． 1或$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得∠AOB为直角，建立平面直角坐标系，利用三角形相似，求出AD的值，可得D、E的坐标，由$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EA}$求得λ的值，再求向量$\overrightarrow{EA}$在向量$\overrightarrow{OD}$上的投影．

解答 解：Rt△AOB中，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，∴∠AOB=$\frac{π}{2}$，
∵|$\overrightarrow{OA}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{{OA}^{2}{+OB}^{2}}$=5，
∵AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，
建立平面直角坐标系，如图所示；
则A（$\sqrt{5}$，0）、B（0，2$\sqrt{5}$）、设D（m，n），
则△OAD∽△BAO，
∴$\frac{OA}{AB}$=$\frac{AD}{OA}$，
∴AD=1，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$，
即（m-$\sqrt{5}$，n）=$\frac{1}{5}$（-$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$），
求得m=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，n=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴D（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）；
则$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{OD}$=λ（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）=（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$λ，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$λ），
$\overrightarrow{EA}$=（$\sqrt{5}$-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$λ，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$λ）；
∵$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EA}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{4\sqrt{5}}{5}$λ•（$\sqrt{5}$-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$λ）-${（\frac{2\sqrt{5}}{5}λ）}^{2}$=$\frac{3}{4}$，
解得λ=$\frac{3}{4}$或λ=$\frac{1}{4}$；
∴向量$\overrightarrow{EA}$在向量$\overrightarrow{OD}$上的投影为
ED=|$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OE}$|=|（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）-（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$λ，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$λ）|
=|（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$（1-λ），$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（1-λ））|．
当λ=$\frac{3}{4}$时，ED=|（$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{10}$）|=$\frac{1}{2}$；
当λ=$\frac{1}{4}$时，ED=|（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{3\sqrt{5}}{10}$）|=$\frac{3}{2}$．
即向量$\overrightarrow{EA}$在向量$\overrightarrow{OD}$上的投影为$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，是综合性题目．