Question

【题目】已知向量 =（ sinωx，1）， =（cosωx，cos2ωx+1），设函数f（x）= ．
（1）若函数f（x）的图象关于直线x= 对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在（1）的条件下，当 时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：向量 ，

函数

∵函数f（x）图象关于直线 对称，

∴ （k∈Z），

解得： （k∈Z），

所以函数f（x）的单调增区间为 （k∈Z）

（2）解：由（1）知（2）由（1）知 ，

∵

∴ 函数f（x）单调递增；．

2x+ ∈[ ， ]，即x∈ 函数f（x）单调递减

又 ，∴当 }时函数f（x）有且只有一个零点，

∴ { }

【解析】根据平面向量数量积的坐标表示达式将f（x）用、的坐标表示，利用二倍角正余弦公式、辅助角公式将f（x）化简成y=Asin（）+B的形式，令+=（kZ）可解出；令-+2k+2k（kZ），解出x即可得到f（x）的单调增区间；（2）讨论函数f（x）在[0，]内的单调性，求出f（x）的最值，然后数形结合，分类讨论..
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦函数的单调性和正弦函数的对称性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数；正弦函数的对称性：对称中心；对称轴．