Question

（2010•抚州模拟）称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在R上；（2）存在a＜b，使其在（-∞，a）、（b，+∞）上单调递增，在（a，b）上单调递减．则以下函数中不是好函数的是（　　）

A．y=x|x-2|

B．y=x³-x+1

C．y=2x³-3x²-6x-1

D．y=7x⁴+28x+38

Answer 1

分析：选项A，可讨论x去绝对值，然后根据二次函数可得函数的单调区间，选项B、C、D都是多项式函数，可利用导数研究函数的单调区间，然后根据“好函数”的定义进行判定即可．

解答：解：选项A，定义域为R，y=x|x-2|=

x2-2x  ，  x＞2 2x-x2 ， x≤2

∴y=x|x-2|在（-∞，1）、（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，满足好函数的定义；
选项B，y=x³-x+1定义域为R，则y′=3x²-1＜0解得x∈（-

3

3

，

3

3

），
y′=3x²-1＞0解得x∈（-∞，-

3

3

）∪（

3

3

，+∞），
∴y=x³-x+1在（-∞，-

3

3

）、（

3

3

，+∞）上单调递增，在（-

3

3

，

3

3

）上单调递减，满足好函数的定义；
选项C，y=2x³-3x²-6x-1定义域为R，则y′=6x²-6x-6＜0解得x∈（

1- 5

2

，

1+ 5

2

），
y′=3x²-1＞0解得x∈（-∞，

1- 5

2

）∪（

1+ 5

2

，+∞），
∴y=2x³-3x²-6x-1在（-∞，

1- 5

2

）、（

1+ 5

2

，+∞）上单调递增，
在（

1- 5

2

，

1+ 5

2

）上单调递减，满足好函数的定义；
选项D，y=7x⁴+28x+38定义域为R，则y'=28x³+28＜0解得x＜-1，y'=28x³+28＞0解得x＞-1
∴y=7x⁴+28x+38在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，不满足好函数的定义；
故选D．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及绝对值函数的处理方法和新定义，同时考查了转化的思想，属于中档题．