Question

已知f（x）=

1

x

+ax+6，对任意实数x₀∈[

1

2

，2]，使不等式|f（x₀）|≥

1

2

成立，则a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：求出函数f（x）的导函数，然后对a分类判断函数f（x）的单调性，由单调性可得|f（x₀）|在x₀∈[

1

2

，2]上的最小值，然后求解关于a的不等式得答案．

解答： 解：由f（x）=

1

x

+ax+6，得f′(x)=-

1

x2

+a=

ax2-1

x2

，
若a≤0，则f′（x）＜0，f（x）在[

1

2

，2]上为减函数，
|f（x₀）|的最小值为|f(

1

2

)|与|f（2）|中的最小者，
由

|2+ 1 2 a+6|≥ 1 2 | 1 2 +2a+6|≥ 1 2

，得a≤-17或a≥-3，
∴a≤-17或-3≤a≤0；
若a＞0，则由f′（x）=0，得x=±

1 a

，
当

1 a

≤

1

2

，即a≥4时，f（x）在[

1

2

，2]上为减函数，
|f（x₀）|的最小值为|f(

1

2

)|与|f（2）|中的最小者，
结合|f(

1

2

)|≥

1

2

且|f（2）|≥

1

2

得a≥4；
当

1 a

≥2，即0＜a≤

1

4

时，f（x）在[

1

2

，2]上为增函数，
|f（x₀）|的最小值为|f(

1

2

)|与|f（2）|中的最小者，
结合|f(

1

2

)|≥

1

2

且|f（2）|≥

1

2

得0＜a≤

1

4

；
当

1

2

＜

1 a

＜2，即

1

4

＜a＜4时，f（x）在[

1

2

，

1 a

]上为减函数，在[

1 a

，2]上为增函数，
|f（x₀）|的最小值为|f(

1

2

)|、|f（2）|、|f(

1 a

)|中的最小者，
∵|f(

1 a

)|=|

a

+

a

+6|≥

1

2

对

1

4

＜a＜4恒成立，∴

1

4

＜a＜4．
综上，a的取值范围是（-∞，-17）∪（-3，+∞）．
故答案为：（-∞，-17）∪（-3，+∞）．

点评：本题考查了函数恒成立问题，训练了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，是中高档题．