Question

有人预测：在2010年的广州亚运会上，排球比赛的决赛将在中国队与日本队之间展开，据以往统计，中国队在每局比赛中胜日本队的概率为

2

3

，比赛采取五局三胜制，即谁先胜三局谁就获胜，并停止比赛．
（1）求中国队以3：1获胜的概率．
（2）设ξ表示比赛的局数，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题的比赛，每一局之间都是不影响的，且中国队获胜的概率都相同，符合独立重复试验，根据独立重复试验的概率公式写出中国队乙三比一获胜的概率．即前三场中国队胜两场，且第四场一定胜．
（2）ξ表示比赛的局数，则ξ的所有可能取值为3，4，5．结合变量对应的事件和第一问的分析写出变量的概率，当变量等于5时，可以用1减去前两个变量的概率得到结果，写出分布列，做出数学期望．

解答：解：（1）由题意知本题的比赛，每一局之间都是不影响的，
且中国队获胜的概率都相同，符合独立重复试验，
设“中国队以3：1获胜”为事件A，
则事件A表示“前3局中国队恰好胜2局，然后第4局胜”，
∴P(A)=

C

2 3

(

2

3

)2×

1

3

×

2

3

=

8

27

．
（2）ξ的所有可能取值为3，4，5．
P(ξ=3)=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

1

3

；
P(ξ=4)=P(A)+

C

2 3

(

1

3

)2×

2

3

×

1

3

=

10

27

；
P（ξ=5）=1-P（ξ=3）-P（ξ=4）=

8

27

．
∴ξ的分布列为：

∴ξ的数学期望为Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．

点评：本题考查独立重复试验，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查利用概率知识解决实际问题的能力，是一个综合题目，这种题目可以作为理科的一道解答题目出现．