Question

（2009•湖北模拟）已知A（-1，0）、B（3，0），M、N是圆O：x²+y²=1上的两个动点，且M、N关于x轴对称，直线AM与BN交于P点．
（1）求P点的轨迹C的方程；
（2）设动直线l：y=k（x+

3

2

）与曲线C交于S、T两点．求证：无论k为何值时，以动弦ST为直径的圆总与定直线x=-

1

2

相切．

Answer 1

分析：（1）确定直线AM与BN的方程，可得M的坐标，代入圆的方程，即可求P点的轨迹C的方程；
（2）直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理确定ST的中点坐标，证明

1

2

|ST|=d（中点到直线x=-

1

2

的距离），即可得到结论；另解：利用抛物线的定义，证明以ST为直径的圆与x=-

1

2

总相切．

解答：（1）解：设M（x₀，y₀），则N（x₀，-y₀），P（x，y）（x₀≠-1且x₀≠3）
∵AM：y=

y0

x0+1

(x+1)①，BN：y=

-y0

x0-3

(x-3)②
∴联立①②，解得

x0= x+3 x-1 y0= 2y x-1

（4分）
∵点M（x₀，y₀）在圆⊙O上，代入圆的方程：(

x+3

x-1

)2+(

2y

x-1

)2=1
整理：y²=-2（x+1）（x＜-1）（6分）
（2）证明：由

y=k(x+ 3 2 ) y2=-2(x+1)

⇒k2x2+(3k2+2)x+

9

4

k2+2
设S（x₁、y₁），T（x₂、y₂），ST的中点坐标（x₀、y₀）
则x₁+x₂=-（3+

2

k2

），x₁x₂=

9

4

+

2

k2

（8分）
∴x0=

x1+x2

2

=-

1

2

(3+

2

k2

)
中点到直线x=-

1

2

的距离d=-

1

2

-x0=-

1

2

+

1

2

(3+

1

k2

)=1+

1

k2

∵

1

2

|ST|=

1

2

1+k2

(3+ 2 k2 )2-4( 9 4 + 2 k2 ) 2 k2

=

1

2

1+k2

4k2+4 k4

 =

1+k2

k2

=1+

1

k2

∴

1

2

|ST|=d
故圆与x=-

1

2

总相切．（13分）
另解：∵y²=-2（x+1）知焦点坐标为（-

3

2

，0）（2分）
顶点（-1，0），故准线x=-

1

2

（4分）
设S、T到准线的距离为d₁，d₂，ST的中点O'，O'到x=-

1

2

的距离为

d1+d2

2

又由抛物线定义：d₁+d₂=|ST|，∴

d1+d2

2

=

|ST|

2

故以ST为直径的圆与x=-

1

2

总相切（8分）

点评：本题考查代入法求轨迹方程，考查直线与抛物线，直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．